ดีเทอร์มิแนนท์

จำนวนผู้เยี่ยมชมหน้านี้                

             ดีเทอร์มิเนนท์ คือวิธีการหาค่าตัวแปรแบบหนึ่งในหลายๆวิธี โดยการนำค่าต่างๆ ในสมการที่ต้องการหาค่าตัวแปร มาจัดวางให้อยู่ในรูปแบบของเมทริกซ์และทำการหาค่าด้วยวิธีการตามขั้นตอน

     เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวน ใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น

เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนในเมทริกซ์ว่า สมาชิก ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 15

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5

ตัวอย่างที่ 1  หาค่าตัวแปร 2 ตัวแปร มีวิธีการทำ ดังนี้

จากสมการ     5I₁ + 4I₂ = 9…………………①

                   10I₁ + 5I₂ = 6………………..②

จงหาค่าของตัวแปร I₁ และ I₂

วิธีทำ

                 นำสมการมาเขียนให้อยู่ในรูปของเมทริกซ์ ซึ่งประกอบด้วยส่วนประกอบ 3 ชุด ดังนี้

                  ชุดที่ 1  ประกอบด้วยค่าคงที่ของตัวแปรจากสมการ  (ใช้สำหรับหาค่าดีเทอร์มิแนนท์)

                  ชุดที่ 2  ประกอบด้วยตัวแปรที่ต้องการหาค่าในสมการ

                  ชุดที่ 3  ประกอบด้วยค่าคงที่ของค่าด้านขวามือของสมการ

โดยสมการแรกจะเขียนในแถวที่ 1 และสมการที่ 2 เขียนในแถวที่ 2 หากมี 3 สมการ ก็ให้เขียนเรียงลงไปในแถวต่อไป จากสมการตามตัวอย่างที่ 1 สามารถเขียนได้ ดังนี้

              เมื่อนำสมการมาเขียนให้อยู่ในฟอร์มของเมทริกซ์แล้ว ต่อไปก็ให้ทำการหาค่าดีเทอร์มิแนนท์ ดังนี้

        1.  หาค่าดีเทอร์มิแนนท์ โดยใช้ตัวเลขส่วนที่ 1 

โดยนำตัวเลขหลักที่ 1 มาคูณไขว้กับเลขหลักที่ 2 โดย คูณลง ค่าจะเป็น +  คูณขึ้น ค่าจะเป็นลบ และนำผลคูณของทั้ง 2 ชุด มารวมกัน

        ดังนั้น หากเราให้  D  แทน ดีเทอร์มิแนนท์ จะได้

D  = (5 x 5) – (10 x 4)

    = 25 – 40

    = -15

        2.   หาค่าดีเทอร์มิแนนท์ของ I₁  โดยใช้ตัวเลขชุดที่ 3 ไปแทนหลักที่ 1 ของดีเทอร์มิแนนท์ และใช้วิธีการเดียวกับการหาค่าดีเทอร์มิแนนท์

        ดังนั้น หากเราให้  DI₁  แทน ดีเทอร์มิแนนท์ของ I₁ จะได้

DI₁  = (9 x 5) – (6 x 4)

      = 45 – 24

      = 21

         3.   หาค่าดีเทอร์มิแนนท์ของ I₂  โดยใช้ตัวเลขชุดที่ 3 ไปแทนหลักที่ 2 ของดีเทอร์มิแนนท์ และใช้วิธีการเดียวกับการหาค่าดีเทอร์มิแนนท์ 

       ดังนั้น หากเราให้  DI₂  แทน ดีเทอร์มิแนนท์ของ I₂ จะได้

DI₂  = (5 x 6) – (10 x 9)

    = 30 – 90

    = -60

         4. จากนั้น ก็สามา
รถหาค่า  I₁ และ I₂ ได้ดังนี้

I₁ = DI₁ / D

   = 21 ÷ (-15)

   = -1.4 A

I₂ = DI₂ / D

   = -60 ÷ (-15)

   = 4 A

          5. ตรวจสอบคำตอบที่ได้ โดยนำไปแทนค่าในสมการใดสมการหนึ่ง 

แทนค่า  I₁ และ I₂ ในสมการที่ 1

                              5I₁ + 4I₂ = 9

                (5 x -1.4) + (4 x 4) = 9

                              -7 + 16 = 9

                                       9 = 9

         ผลลัพธ์ระหว่างเครื่องหมายเท่ากับ มีค่าเท่ากัน แสดงว่าคำตอบถูกต้อง

        5. ตรวจสอบคำตอบที่ได้ โดยนำไปแทนค่าในสมการใดสมการหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 2  หาค่าตัวแปร 3 ตัวแปร มีวิธีการทำ ดังนี้

จากสมการ    7I₁ + 3I₂ + 4I₃  = 15…………………①

                         5I₁ + 5I₃  = 12………………..②

                  5I₁ + 4I₂ + 3I₃  = 13…………………③

จงหาค่าของตัวแปร I₁ , I₂ และ I₃

วิธีทำ

           นำสมการมาเขียนให้อยู่ในรูปของเมทริกซ์ ซึ่งประกอบด้วยส่วนประกอบ 3 ชุด ดังนี้

 เมื่อนำสมการมาเขียนให้อยู่ในฟอร์มของเมทริกซ์แล้ว ต่อไปก็ให้ทำการหาค่าดีเทอร์มิแนนท์ ดังนี้

            1.  หาค่าดีเทอร์มิแนนท์ โดยใช้ส่วนที่ 1 แต่ให้นำหลักที่ 1 และ 2 เพิ่มไปเป็นหลักที่ 4 และ 5

และนำเลขหลักที่ 1 , 2 และ 3 ในแถวที่ 1 คูณทแยงลงมา จะได้ค่าเป็นบวก และ นำเลขหลักที่ 1 , 2 และ 3 ในแถวที่ 3 คูณทแยงขึ้น จะได้ค่าเป็นลบ และให้นำค่าทั้งสองมารวมกัน ดังภาพ

   จะได้  D = (7 x 0 x 3) + (3 x 5 x 5) + (4 x 5 x 4) – (5 x 0 x 4) – (4 x 5 x 7) – (3 x 5 x 3)

              = 0 + 75 + 80 – 0 – 140 – 45

             = -30

          2.  หาค่าดีเทอร์มิแนนท์ I₁ โดยใช้เลขชุดที่ 3 แทนหลักที่ 1 ของดีเทอร์มิแนนท์ และให้นำหลักที่ 1 และ 2 เพิ่มไปเป็นหลักที่ 4 และ 5 และหาค่าเหมือนการหาค่าดีเทอร์มิแนนท์ ดังภาพ

จะได้  DI₁ = (15 x 0 x 3) + (3 x 5 x 13) + (4 x 12 x 4) – (13 x 0 x 4) – (4 x 5 x 15) – (3 x 12 x 3)

              = 0 + 195 + 192 – 0 – 300 – 108

             = -21

          3.  หาค่าดีเทอร์มิแนนท์ I₂ โดยใช้เลขชุดที่ 3 แทนหลักที่ 2 ของดีเทอร์มิแนนท์ และให้นำหลักที่ 1 และ 2 เพิ่มไปเป็นหลักที่ 4 และ 5 และหาค่าเหมือนการหาค่าดีเทอร์มิแนนท์ ดังภาพ

   จะได้  DI₂ = (7 x 12 x 3) + (15 x 5 x 5) + (4 x 5 x 13) – (5 x 12 x 4) – (13 x 5 x 7) – (3 x 5 x 15)

              = 252 + 375 + 260 – 240 – 455 – 225
              = -33

        4.  หาค่าดีเทอร์มิแนนท์ I₃ โดยใช้เลขชุดที่ 3 แทนหลักที่ 3 ของดีเทอร์มิแนนท์ และให้นำหลักที่ 1 และ 2 เพิ่มไปเป็นหลักที่ 4 และ 5 และหาค่าเหมือนการหาค่าดีเทอร์มิแนนท์ ดังภาพ

จะได้  DI₃ = (7 x 0 x 13) + (3 x 12 x 5) + (15 x 5 x 4) – (5 x 0 x 15) – (4 x 12 x 7) – (13 x 5 x 3)

                = 0 + 180 + 300 – 0 – 336 – 195

                = -51

  5. จากนั้น ก็สามารถหาค่า  I₁ , I₂ และ I₃ ได้ดังนี้

I₁ = DI₁ / D

   = -21 ÷ (-30)

   = 0.7  A

I₂ = DI₂ / D

   = -33 ÷ (-30)

   = 1.1 A

I₃ = DI₃ / D

   = -51 ÷ (-30)

   = 1.7 A

6. ตรวจสอบคำตอบโดยการนำค่าที่หาได้ ไปแทนค่าในสมการใด สมการหนึ่ง เช่น

จากคำตอบ นำไปแทนค่าใน  ①

                   7I₁ + 3I₂ + 4I₃  = 15

                 (7 x 0.7) + (3 x 1.1) + (4 x 1.7) = 15

                                      4.9 + 3.3 + 6.8 = 15

                                                       15 = 15

ผลลัพธ์ ค่าทั้งสองข้างของสมการมีค่าเท่ากัน แสดงว่าถูกต้อง

                       - โปรแกรมหาค่าตัวแปรของสมการ ด้วยดีเทอร์มิแนนท์   ออนไลน์